Мурат Гассиев родился 12 октября 1993 года во Владикавказе.
Боксом начал заниматься в 2007 году. Первый свой профессиональный бой он провел 21 сентября 2011 года, одержав победу по очкам.
Ещё выступая в любителях, начал тренироваться в боксерском клубе «Ариана», у заслуженного тренера России и Южной Осетии Виталия Сланова. Работает с ним и в настоящее время. В 2014 году Мурат отправился в Америку, чтобы продолжить свои тренировки у Абеля Санчеса.
В 2013 году Гассиев стал чемпионом мира среди молодёжи по версии WBC, отправив в нокаут грузинского боксёра Левана Джамардашвили во втором раунде. В феврале 2014 года стал чемпионом Европы по версии IBF, победив по очкам Исмаила Абдула.
В марте 2015 года Мурат должен был провести бой против перспективного кубинского боксёра Юниера Дортикоса, имеющего рекорд 18-0, но поединок был отменён.
18 декабря 2015 года встретился с американцем Айзея Томасом. Победитель этого боя должен был стать обязательным претендентом на титул чемпиона мира в 1-м тяжёлом весе по версии IBF. В 3-м раунде Гассиев нанёс непреднамеренный удар после гонга, после которого Томас оказался в лёгком стоячем нокдауне и угол Томаса отказался от продолжения боя. Судьи объявили поединок несостоявшимся.
17 мая 2016 года у Мурата Гассиева состоялся бой с американским боксёром Джорданом Шиммеллом. Гассиев нокаутировал Шиммелла в первом же раунде.
3 декабря 2016 года в Москве, Мурат Гассиев в двенадцатираундовом бою раздельным решением судей одержал победу над своим соотечественником, чемпионом мира Денисом Лебедевым и завоевал титул чемпиона мира по версии IBF в первом тяжёлом весе.
21 июля 2018 решением прошел финальный поединок турнира между Муратом и Александром Усиком. Победителем 12-раундового противостояния был признан украинский боксер.
После Гассиев перешел в супертяжелый вес. С тех пор у него было два боя, оба он выиграл.
